Για την πολέντα: Σε ένα κατσαρολάκι ρίχνουμε το νερό με το ζωμό. Μόλις πάρει βράση ρίχνουμε την πολέντα και ανακατεύουμε συνεχώς σε μέτρια φωτιά με ένα σύρμα χειρός για 5 λεπτά περίπου.
Μόλις σφίξει το μείγμα, αποσύρουμε από τη φωτιά, προσθέτουμε το βούτυρο και τη γραβιέρα και ανακατεύουμε.
Σε ένα βαθύ ταψάκι στρώνουμε αντικολλητικό χαρτί ψησίματος. Ρίχνουμε το μείγμα και το αφήνουμε για 1 ώρα περίπου να κρυώσει και να σφίξει.
Βγάζουμε το μείγμα και το κόβουμε σε μπαστουνάκια. Τα βάζουμε πάλι σε ένα ταψάκι με αντικολλητικό χαρτί ψησίματος και ψήνουμε στους 190ᵒ C στις αντιστάσεις για 20 λεπτά.
Για το ντιπ γιαουρτιού: Ψιλοκόβουμε τον δυόσμο και ανακατεύουμε όλα τα υλικά. Προσθέτουμε αλάτι και σερβίρουμε.